a)
| _ _ abc + ab c + ab = |
On sort ab en facteur : |
| _ _ ab (c + c) + a b = |
_ c + c = 1 et ab . 1 = ab |
_ |
On sort b en facteur : |
| _ b ( a + a ) = |
_ a + a = 1 et b . 1 = b |
| b |
b)
| ____ _ _ (a+b) ( a + b) = |
On utilise le théorème de DeMorgan : |
| _ _ _ _ a.b ( a + b) = |
On distribue le . sur le + |
_ _ _ _ _ _ |
_ _ _ _ _ _ a . a = a et b .b = b |
| _ _ _ _ a b + a b = |
∀ x : x + x = x |
| _ _ a b |
c)
| _ _ _ (a + b + a b) ( a b + a c + b c) = |
_ On sort b en facteur |
| _ _ (a + b( 1+ a)) ( a b + a c + b c) = |
∀ x : 1 + x = 1 et x .1 = x |
_ _ |
|
| _ _ _ _ _ a a b + a a c + a b c + b a b + b a c + b b c = |
∀ x : x . x = x _ x.x = 0 |
| _ _ a b + a b c + b a c = |
On sort ab en facteur |
| _ _ a b( 1 + c) + b a c = |
∀ x : 1 + x = 1 et x .1 = x |
| _ _ a b + b a c |
d)
| ___ x + y (z + x+z) = |
On utilise le théorème de DeMorgan : |
| _ _ x + y (z + x .z) = |
|
_ _ |
∀ α,β : _ α + αβ = α+β /voir exo 1 |
| _ x + y z + y .z = |
On sort y en facteur : |
| _ x + y (z + z ) = |
_ z + z = 1 |
| x + y |
e)
| _ _ _ _ w.x.(z + yz) + x(w + wyz) = |
∀ α,β : _ α + αβ = α+β /voir exo 1 |
| _ _ _ w.x.(z + y) + x(w + yz) = |
|
_ _ _ _ |
On sort x en facteur |
| _ _ _ _ x.(w.z + w.y + w + yz) = |
∀ α,β : _ α + αβ = α+β /voir exo 1 |
| _ _ _ x.(w.z + y + w + yz) = |
|
| _ _ _ x.(w.z + y + w + z) = |
|
| _ _ x.(w + y + w + z) = |
_ w + w = 1 |
| _ x.(y + z + 1) = |
_ y + z + 1 = 1 |
| x |
f)
| _ abcd + abchg + dhg + abcdefh = |
On sort abcd en facteur |
| _ abcd (1 + efh) + abchg + dhg = |
|
_ |
_ _ d+d=1et abchg (d+d) = abchg |
| _ _ abcd + abchg (d + d) + dhg = |
|
| _ _ abcd + abchgd + abchgd + dhg = |
_ On sort abcd et dhg en facteur |
| _ abcd ( 1 + hg) + dhg.(abc + 1) = |
1 + hg = 1 et abc + 1=1 |
| _ abcd + dhg |
g)
| _ _ _ acde + d + e + c = |
∀ α,β : _ α + αβ = α+β /voir exo 1 |
| _ _ _ ace + d + e + c = |
|
_ _ _ |
|
| _ _ a + d + e + c |