Solution Exercice 4 / Série 2

a)

_               _    _ _
yz + yz + yz + y  z = 		                   _
On sort z et z en facteur :
     _           _        _
z ( y + y) + z (y + y ) = 		      _
y + y = 1 et x.1 = x

      _
z + z =

 
1  

b)

            _    _ _
a.b + a b + a b =		 On sort a en facteur :
           _      _ _
a.( b + b) + a b =		  

      _ _
a + a b =

 On distribue le . sur le +
       _        _
(a + a)(a + b) =		 _
a+a=1
      _
a + b		  

c)

_               _     _  _
a + ab + a.c+ a.b.c = 		              _
On sort ac en facteur
_               _         _
a + ab + a.c ( 1 + b) = 		∀ x : 1 + x = 1 et x .1 = x

_               _
a + ab + a.c =

∀ α,β :
      _
α + αβ = α+β /voir exo 1
_             _
a + b + a.c = 		 
_          _   
a + b + c		  

d)

  _     _ _ _    _ _       _ _   _
a.b + a.c.d + a.b.d + a.b.c.d = 		 
  _     _ _ _      _    _ _      _        _ _ _ _
a.b + a.c.d (b+b)+ a.b.d.(c+c) + a.b.c.d =

_                 _
b + b = 1 et c + c = 1

  _     _ _ _      _ _ _ _   _ _    _    _ _          _ _ _ _
a.b + a.c.d.b+ a.c.d.b + a.b.d.c + a.b.d.c + a.b.d.c =

 
  _     _ _ _      _ _  _ _    _       _       _ _
a.b + a.c.d.b+ a.b.(c.d + d.c + c.d + d.c) = 		En appliquant l'égalité a) de cet exercice :
  _     _ _ _      _ _
a.b + a.c.d.b+ a.b = 		            _
On sort b en facteur:
_        _      _ _ _  
b.(a + a) + a.c.d.b= 		_
a + a = 1
_    _ _ _  
b + a.c.d.b= 		∀ α,β :
      _
α + αβ = α+β /voir exo 1
_    _ _ _  
b + a.c.d.		  

e)

         _
x.y + x.z + yz = 		 
        _            _
x.y+ x.z + yz.(x + x) = 		_
x + x = 1

         _            _
x.y + x.z.+ y.z.x + y.z.x =

             _
On sort xz et xy en facteur
                    _
x.y.(1 + z) + x.z.(1 + y) = 		 
         _
x.y + x.z		  

f)

      _
x + x.y = 		On distribue le + sur le .
       _
(x + x).(x+y)		 _
x + x = 1

x + y