Solutions Rat S1 CRI/17-18

Solutions prototypes Rattrapage CRI

Exercice 1

N= (73.36)₁₀

On convertit d'abord la partie entière (73)₁₀ par les divisions successives :

73	\|2
	--
1	36	\|2
		--
	0	18	\|2
			--
		0	9	\|2
				--
			1	4	\|2
					--
				0	2	\|2
						--
					0	1	\|2
							--
						1	0

On convertit ensuite la partie décimale (0.36)₁₀ par les multiplications successives (3 chiffres après la virgule) :

		.36
		x 2
0		= .72
		x 2
1		= .44
		x 2
0		= .88

d'où N= (73.36)₁₀ = (1001001.010)₂

En octal, on fait des regroupement par 3 bits :

d'où N= (73.36)₁₀ = (1 001 001.010)₂ = (111.2)₈

En hexadécimal, on fait des regroupement par 4 bits :

d'où N= (73.36)₁₀ = (0100 1001.0100)₂ = (49.4)₁₆

On a (-73 - 35)₁₀ = (-73)₁₀ + (-35)₁₀

(73)₁₀ = (01001001)₂

donc (-73)₁₀ = (10110111)₂^C2

(35)₁₀ = (00100011)₂

donc (-35)₁₀ = (11011101)₂^C2

(-73 - 35)₁₀ =

      (1 0 1 1 0 1 1 1)₂^C2
+    (1 1 0 1 1 1 0 1)₂^C2
= _____________
      (1 0 0 1 0 1 0 0)₂^C2 et on ignore la retenue.

(10010100)₂^C2 est négatif. On cherche sa valeur positive en binaire et en décimale :

(10010100)₂^C2 = - (01101100)₂^C2 = - (4+8+32+64)₁₀ = - (108)₁₀

On a G = (100011101)_gray

On cherche d'abord la valeur binaire de G. Il y a plusieurs méthodes et on peut utiliser la suivante :

Si (g_ng_n-1...g₁g₀)_gray = (b_nb_n-1...b₁b₀)₂ alors

b_n = g_n
b_n-1 = b_n+ g_n-1b_n-2 = b_n-1+ g_n-2

----b₁ = b₂+ g₁
b₀ = b₁+ g₀

(sachant que 0+0 =0, 1+0= 1, 1+1=0)

Donc (100011101)_gray = (111101001)₂ = (1+8+32+64+128+256)₁₀ = (489)₁₀ = (0100 1000 1001)_BCD

N1=-0.66

On convertit N1 en décimal par la méthode des multiplications successives. On arrête la multiplication au bout d'environ 23 opérations (taille de la mantisse) ou lorsqu'on tombe sur une séquence répétitive : :

N°		.66
		x 2
1	1	= .32
		x 2
2	0	= .64
		x 2
3	1	= .28
		x 2
4	0	= .56
		x 2
5	1	= .12
		x 2
6	0	= .24
		x 2
7	0	= .48
		x 2
8	0	= .96
		x 2
9	1	= .92
		x 2
10	1	= .84
		x 2
11	1	= .68
		x 2
12	1	= .36
		x 2
13	0	= .72
		x 2
14	1	= .44
		x 2
15	0	= .88
		x 2
16	0	= .76
		x 2
17	1	= .52
		x 2
18	1	= .04
		x 2
19	0	= .08
		x 2
20	0	= .16
		x 2
21	0	= .32
		x 2
22	0	= .64
		x 2
23	1	= .28
		x 2
24	0	=.56

d'où N1= -(0.101010001111010111000010)₂ = -(1.01010001111010111000010)₂ x 2^-1

D'où :

S1 = 1
M1= (010 1000 1111 0101 1100 0010)₂
E1= (-1 + 127)₁₀ = (126)₁₀ = (0111 1110)₂

N1 = (1 011 1111 0 010 1000 1111 0101 1100 0010)₂^VF = (B F 2 8 F 5 C 2)₁₆^VF

N2= 0.47

N°		0.47
		x 2
1	0	= 0.94
		x 2
2	1	= 0.88
		x 2
3	1	= 0.76
		x 2
4	1	= 0.52
		x 2
5	1	= 0.04
		x 2
6	0	= 0.08
		x 2
7	0	= 0.16
		x 2
8	0	= 0.32
		x 2
9	0	= 0.64
		x 2
10	1	= 0.28
		x 2
11	0	= 0.56
		x 2
12	1	= 0.12
		x 2
13	0	= 0.24
		x 2
14	0	= 0.48
		x 2
15	0	= 0.96
		x 2
16	1	= 0.92
		x 2
17	1	= 0.84
		x 2
18	1	= 0.68
		x 2
19	1	= 0.36
		x 2
20	0	= 0.72
		x 2
21	1	= 0.44
		x 2
22	0	= 0.88
		x 2
23	1	= 0.76
		x 2
24	1	= 0.52
		x 2
25	1	= 0.04

N2 = (0.0111100001010001111010111)₂ = (1.11100001010001111010111)₂ x 2^-2

D'où :

S2 = 0
M2= (111 0000 1010 0011 1101 0111)₂
E2= (-2 + 127)₁₀ = (125)₁₀ = (011 1110 1)₂

N2 = (0 011 1110 1 111 0000 1010 0011 1101 0111)₂^VF = (3 E F 0 A 3 D 7)₁₆^VF

Calcul de N1-N2 :

Il faut d'abord uniformiser les exposants :

N1= -(1.01010001111010111000010)₂ x 2^-1

N2 = (1.11100001010001111010111)₂ x 2^-2= (0.111100001010001111010111)₂ x 2^-1

On a N1-N2 = (-N1) + (-N2) = - (|N1| + |N2| ). On transforme la soustraction en addition et le signe du résultat sera négatif :

On additionne les 2 mantisses :

(1.0101 0001 1110 1011 1000 0100)₂
+ (0.1111 0000 1010 0011 1101 0111)₂
= _____________________________
(10.0100 0010 1000 1111 0101 1011)₂

N1 - N2 = - (10.0100 0010 1000 1111 0101 1011)₂ x 2^-1

= - (1.0010 0001 0100 0111 1010 1101 1)₂

= - (1 + 2^-3+ ...)₁₀ = (- 1 - 1/8)₁₀ = -(1.13)₁₀

Représentation en VF:

S = 1
M= 001 0000 1010 0011 1101 0110
E= (0 +127)₁₀ = (127)₁₀ = (011 1111 1)₂

N1-N2 = (1 011 1111 1 001 0000 1010 0011 1101 0110)₂^VF= (BF90A3D6)₁₆^VF

Exercice 2

               _      _ _
= a . (b + b) + a.b
              _ _
= a . 1 + a.b
         _ _
= a + a.b
           _          _
= (a + a). (a + b)
                 _
= 1 . ( a + b )
         _
= a + b

   _                _        _
= a + a.b + a.c.(1 + b)
   _                _
= a + a.b + a.c
   _             _
= a + b + a.c
   _           _
= a + b + c

F3 = F1 . F2
           _     _           _
= (a + b ). (a + b + c)
      _                _    _ _    _       _ _
= a.a + a.b + a.c + b.a + b.b + b.c
               _    _ _    _ _
= a.b + a.c + b.a + b.c

Tableau de Karnaught :

\ab cd \	00	11	10
00	_ _ a.b _ _ b.c 1	a.b _ a.c 1	_ a.c _ _ b.c 1
01	_ _ a.b _ _ b.c 1	a.b _ a.c 1	_ a.c _ _ b.c 1
11	_ _ a.b 1	a.b 1	0
10	_ _ a.b 1	a.b 1	0

_ _ _
F3 = a.b + a.b + a.c
_ _ _
F3 = ( a + b ).(a + b + c)

Circuit avec uniquement des portes NOR

         ______________
         ______________
                 _    _           _
F3 = ( a + b ).(a + b + c)
     ______________
     _____   ________
           _     _           _
= ( a + b )+(a + b + c)

Circuit avec uniquement des portes NAND

         ______________
         ______________
        _ _                _
F3 = a.b + a.b + a.c
         ____________
        ___   ___   ___
        _ _                _
     = a.b . a.b .   a.c

Exercice 3

a	b	c	d	S
0	0	0	0	0
0	0	0	1	0
0	0	1	0	0
0	0	1	1	0
0	1	0	0	0
0	1	0	1	0
0	1	1	0	0
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	0	0	1	0
1	0	1	0	1
1	0	1	1	1
1	1	0	0	1
1	1	0	1	1
1	1	1	0	1
1	1	1	1	1

2. Tableaux de Karnaugh

\cd ab \	00	01	11		10
00	0	0	0		0
01	0	0	1		0
11	1	1		1		1
10	0	0	1		1

S = a.b + b.c.d + a.c

\cd ab \	00		01	11	10
00				0	0
		0	0

01		0	0	1	0
11	1		1	1	1
10	0		0	1	1

S = ( a + b).( a + c ).( a + d ).( b + c )

3. Circuit en n'utilisant que des portes logiques NAND à deux entrées

       _____________
       _____________
S = a.b + b.c.d + a.c
       _____________
       __   ____   ___
S = a.b . b.c.d . a.c
       _____________
              ______
              ___
       __   ___       ___
S = a.b . b.c . d . a.c