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Algèbre de Boole

Constitue une partie des travaux de Georges Boole (1815-1864) relatif à l'élaboration d'une base mathématique au raisonnement logique.

Une algèbre de Boole est la donnée de :

qui vérifient les axiomes suivants : soient $a,b \in E$

commutativité a+b=b+a ab=ba
associativité (a+b)+c=a+(b+c) (ab)c=a(bc)
distributivité a(b+c)=ab+ac a+(bc)=(a+b)(a+c)
éléments neutres a+0=a a1=a
complémentation a+ \ensuremath{\overline{a}}=1 a \ensuremath{\overline{a}}=0

Les théorèmes suivants peuvent être déduits :

idempotence a+a=a aa=a
absorption a+ab=a a(a+b)=a
De Morgan (dualité) \ensuremath{\overline{a+b}}= \ensuremath{\overline{a}}. \ensuremath{\overline{b}} \ensuremath{\overline{ab}}= \ensuremath{\overline{a}}+ \ensuremath{\overline{b}}
éléments absorbants a+1=1 a0=0


? Démontrer que aa=a


On se restreind ici à l'algèbre de Boole minimale, oł $E=\{0,1\}$. Cette algèbre peut être interprétée comme suit :


? L'algèbre des ensembles munis des opérations d'union, d'intersection et de complémentation est elle une algèbre de boole ?



 
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